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Ce sont les équations d'équilibre d’un fil dont la tension 
serait = En utilisant les résultats indiqués par Appell (Comptes 
rendus de l’Académie de Paris, tome XCVI, page 688), elles se 
ramênent aisément à un système d'équations canoniques inté- 
grables par la méthode de Jacobi. La même chose a lieu si la 
courbe doit se trouver sur une surface donnée. Le nombre des 
variables indépendantes se réduit à deux. 
2. Soit un second point matériel libre (ou assujetti à se 
trouver sur une surface donnée) dont la vitesse est à chaque 
instant v' = ©. D'après le principe de la moindre action, la tra- 
jectoire qu'il suivra pour aller de A en B sera définie par 
l'équation : 
ce sera donc la brachistochrone cherchée. 
La réduction des équations à la forme canonique est alors 
inmédiate. 
L'un ou l’autre des théorèmes que nous venons d'énoncer 
permet de démontrer immédiatement la propriété des brachisto- 
chrones dans le cas où la courbe n'est pas assujettie à se trouver 
sur une surface donnée, savoir : 
La force est dans le plan osculateur de la courbe; 
La projection de la force sur la normale principale est égale a 
la force centrifuge. 
Si, au contraire, la courbe est assujettie à se trouver sur une 
surface donnée, ces théorèmes sont remplacés par le suivant: 
La projection de la force sur celle des normales à la courbe 
. . , v? ’ 
qui est située dans le plan tangent, a pour valeur 7 Pe élant le 
rayon de courbure géodésique de la surface. 4 
