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en supposant qu'il y ait une fonction des forces, la force sera 
encore dans le plan osculateur de la trajectoire, sa composante 
normale sera égale à —, mais elle sera dirigée suivant le pro- 
longement du rayon de courbure. 
Il suit de là que si une courbe est la trajectoire d'un point 
libre, la vitesse étant une fonction déterminée de sa position, elle 
sera, pour la même loi de la vitesse, une courbe brachistochrone ; 
la force qui agit en chaque point étant la symétrique, par rapport 
à la tangente, de la force qui agit dans le premier cas. 
Ainsi, une cllipse est la trajectoire d'un point libre soumis à 
l'action d’une force attractive émanant de l'un de ses foyers et 
agissant en raison inverse du carré de la distance; la vitesse 
devenant nulle analytiquement quand la distance à ce foyer est 
égale au grand axe, elle sera, en vertu du théorème, une courhe 
brachistochrone, avec la même loi de la vitesse pour une force 
répulsive émanant de l’autre foyer el agissant en raison inverse 
du carré de la distance du point au cercle directeur corres- 
pondant au second foyer. 
Une parabole est la trajectoire d'un point libre soumis à l'ac- 
tion d'une force constante perpendiculaire à la directrice, la vitesse 
devenant nulle analytiquement lorsque le point matériel est sur 
la directrice. Elle sera, par conséquent, brachistochrone pour une 
force constante répulsive émanant de son foyer avec la même 
loi de vitesse que dans le cas précédent. 
Towsend multiplie les applications du théorème général. 
d) CHEMIN BRACHISTOCHRONE SUR UNE SURFACE (*). 
Soient À et B deux points donnés sur une surface. On pro- 
pose de trouver de A en B sur la surface une ligne ACB telle, 
(‘) Dans son article sur les moteurs, Collignon, ainsi que nous l'avons 
dit, étudie le chemin brachistochrone sur une surface. Nous n'avons pas 
rapporté son analyse dans le chapitre précédent, parce que la manière dont 
l'auteur envisage le problème ne le fait pas rentrer complètement dans 
celui que nous étudions. D'autre part, cet article nous a paru assez intéres- 
sant pour trouver place dans cette étude, 
