(12) 
Prenons { comme variable indépendante; le système (3) et (4) : 
équivaul au suivant : 
d'x; 4 dT … dx, dL l oL, 
—— = . _— —  — — + —— ) 
qe OT TOMET ne ‘ox, 
Ê 4 dT i oL oL 
7 d'A a EAN a nel en (5) 
dt° T dt dt dy dy; 
d°z,; 4 dT  dz; L oL, L dL, 
= = _ — M; — + + Li —; 
MrT DT TN dr 5e) ‘oz, 
Dans le cas où la force est nulle, c'est-à-dire lorsque X,— 0, 
Y,= 0, Z,=— 0, ce système coïncidera avec les équations ordi- 
naires du mouvement d'un système soumis aux équations de 
liaison (1), lequel se meut sans vitesse initiale. 
Au moyen de (1), exprimons les coordonnées x;, y,, z, en 
fonction de 5n — k — pu paramètres q,, 42,...qu, tels que ces 
expressions substituées dans (1) rendent (1) identique. 
Si l’on pose = %#, on aura 
1 
T Fe; (aug + ang + + + 2auqiqe +), 
où les quantités a,, sont des fonctions connues des q,; le système (5) 
se transformera dans le suivant : 
d dT oT doU 4 dT àT 
dtog. 4, dm CT dt og. 
(6) 
Il serait facile de voir que les équations du mouvement bra- 
chistochrone conservent la même forme (6) chaque fois que les 
composantes X,;, Ÿ,, Z, de la force seront les dérivées d’une fonc- 
on des 5n variables x,, y,, z, et que l'expression 
Z(X;dx, ae Ydy; Gr Z,dz,) 
sera la difftrentielle exacte d’une fonction U des variables q. 
Posant 
dT 
dq, 
:T=p, H=T—U 
