(A) 
L'intégrale générale demandée est done 
y = Ax + a 
A et B désignant deux constantes arbitraires. 
Cette équation représente une famille d'hyperboles asymptotes 
à l'axe des y; le cas de l’hyperbole équilatère correspond à 
(1; 
Le cas singulier de la droite correspond à B — 0. 
On peut demander encore qu'il existe un rapport donné m 
entre les coefficients d’inclinaison des tangentes en deux points 
correspondants des courbes (C) et (X). On aura done l'équation 
différentielle 
J=m(y + ay") 
ou 
may" + (m—1)y = 0. 
Mais sur la première forme l'intégration est immédiate et 
donne 
y + C—= may, 
intégrale première, puis 
1 
y +C—=CG x", 
intégrale générale, représentant les paraboles d'ordre m. 
Note. — Le cas de m— 2 ou dem =; correspond aux para- 
boles du second degré. On a vu ci-dessus précisément que la 
parabole a pour transformée deux autres paraboles homothé- 
tiques à la proposée. La relation entre les tangentes s’en déduit, 
car la sous-tangente est double de l’abscisse, et, dans le cas 
général, elle est m fois la longueur de l’abscisse. 
