AVANT-PROPOS. 
On connait plusieurs développements de l'intégrale elliptique 
de première espèce. Jacobi (*) a danné le suivant : 
y dy | 
ji ee —— D Ne lu) + 
‘0 yat y" 
où, si l’on fait, 
| + je 
2k 
LA , 
k£"d" (re nt 1) 
Cr AR. 
2.1.2... mdr" 
Comme on le voit et comme l'a d’ailleurs fait remarquer 
l'illustre géomètre, les polynômes R sont, à un facteur près, ceux 
de Legendre. On arrive très simplement à ce résultat en obser- 
vant que l'on a, identiquement, 
1+hk 
A—ÿ)(1 — y?) = 1 —2 | _ | ky® + ky* 
Pour toutes les valeurs de y, dont le module est inférieur à 
l'unité, on a done, en série uniformément convergente, 
1 = to 
nr ee 
VU y RU % 
X, désignant, suivant l'usage, les fonctions de Legendre. 
(*) JacoBr, Fundamenta nova, p. 127. 
