Par suite, 
(D 
1 l 1 (| ke? 2n+1 
fr 
À V1 — y) = 9k 9n + 1 
1— y) (1 
De son côté, M. Catalan (*) a trouvé les développements : 
t RE 
r? d n=@ 5 LE 
(2). +. "© — 92 Ÿ X, (cos a) —— » 
V4 — cos? Z & sin° # = On +1 
17 1 Nu N, u° N 2p41 
@ / RES ERP LA si = = C2 HSE CIE pi ER 
> VA) (A1— y) 2 3 2.45 2.4...2p 2p +1 
N, est un polynôme entier en k, de degré 2p, lequel a pour 
expression, sous forme d'’intégrale définie 
2 ) 
(4). 
ou 
Posons 
Oo? 
N, — 
T 
41 F 
-F(p + of (cos* 8 + À? sin” 4) «8. 
0 
La comparaison des formules (1) et (5) conduit à l'identité 
N, ; É + 
RE —— EX, | Ù 
2-4 2D 9k 
12e 1 ’ 
x, (+ = cf (x sin? 4 + — COS* ) d6. 
2k 7 1 
z étant une quantité supérieure à l'unité. 
De cette égalité, on déduit 
(‘) CATALAN, Sur les fonctions X, de Legendre (deuxième mémoire). 
+ 
