(5) 
En conséquence, 
1 \ 
ke f (z + V2? — 1 cos o } do. 
K / 
Généralement, on écrit la formule de Laplace avec le radical 
précédé du signe moins. Le signe est d'ailleurs indifférent, 
puisque les puissances impaires du radical doivent disparaître, 
X, étant un polynôme entier en z. Il résulte de cette analyse que 
les polynômes N ne sont pas distinets, au fond, des fonctions X 
de Legendre. On peut encore vérifier directement l'identité (4). 
D’après une formule de la théorie des fonetions sphériques (”), 
1+k 1540.90 41-101 1 
, = Ft —p; =—p;#), 
2k 2.417720 2 2 
la caractéristique F(«, B ; y; x) désignant une fonction de Gauss. 
La relation (4) devient 
LA L 1 9 
N,—1.5.. @p—1)r( hp; ie), 
c’est-à-dire 
NC: (25 — 1) X 1.5. (2p— 25 — 4), 
i=0 
Ce résultat est conforme à celui de M. Catalan (**). Sans 
parler d’autres développements, en quelque sorte classiques, je 
citerai encore celui de Heine (***) 
Dans cette note, nous nous proposons de chercher pour 
l'intégrale de première espèce un développement procédant 
() HeIxE, Handbuch der Kugelfunctionen, p. 18. 
(*) CATALAN, Sur les fonctions X, de Legendre. (MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE 
DE BELGIQUE, in-4o, t. XXXI.) 
(**) HEINE, Handbuch der Kugelfunctionen, t. I, p. 100. 
