SUR 
UN DÉVELOPPEMENT DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQUE 
DE PREMIÈRE ESPÈCE 
EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE 
CHAPITRE PREMIER. 
1. Si l'angle 6 est compris entre — T et + 7 exclusivement, 
on sait que 
T 1 | 1 
— = COS 4 — — LOS 39 + — COS D9 — = cos 78 + +. 
/ 3 H) 7 
Cette série peut être obtenue par un procédé différent de 
celui dont il est fait usage dans les éléments. 
Soit un contour simple formé par la partie OA de l'axe des x 
positifs, la droite OB faisant avec cet axe un angle aigu, et l'are 
de cercle AB, dont le rayon est quelconque. La fonction 5 est 
uniforme dans tout le plan; elle ne devient discontinue qu'aux 
points M et M’, dont les affixes sont Æ 2. 
Ceci posé, en vertu d'un théorème bien connu dans la théorie 
des fonctions d’une variable imaginaire, 
(OA) -+ (AB) = (O0B,. 
Si le module de la variable est supérieur à l'unité, le déve- 
{ . ° OR] , Q 
loppement de =, suivant les puissances entières et décrois- 
santes de z, commence pour un terme en 1e il en résulte que 
