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VII. Au moyen du polynôme P,, on peut trouver l'intégrale 
générale de l'équation 
d si ' a k | 
Hi Fa | 
“ nn +p+qg—1) £ _. £ = à | 
ab 
En effet, d'après l'équation (12), 
d x\? x\? 
= = — — — £ — 'P —— 0; 
dx £ ë] C ;) Ce 0 | 
on déduit de là : 
dx 
y = GP, A5 CP, 4 
AR ee EVE 
“ a b 
Remarque 1. — D'après la forme de l’intégrale générale de 
l'équation (15), on voit que la partie entière de toute solution 
ne diffère de P, que par un facteur constant. 
Remarque II. — D'après l'équation (15), on trouve que 
l'intégrale 
b p—i m\9—1 
no £ = £ _ F(x) P,dx 
a b 
se ramène à l'intégrale 
ral t-Jrole 
Il résulte de là, et de la formule (10), que le développement de 
F(x) suivant les polynômes P, peut se déduire du développe- 
ment de F,(x), si l'on a 
d É = l, 2] F4 £ À = $ 
En ac 5 
VIII. L'équation (15) permet d'obtenir la valeur du polynôme 
P, sous une forme différente de l'expression (1), quand p est un 
nombre entier. 
(‘) J’ai indiqué cette propriété pour les fonctions X, de Legendre, dans 
un travail inséré au tome XI, 2e série, des Mémoires de la Société des sciences. 
