(Ca) 
1. Nous démontrerons d’abord le théorème suivant : 
Si une fonction F(x), satisfait aux conditions 
Q L, 
D F(x)ri— 0, ….(t=0,1,2, .., q —1); (4) 
la suite 
EC ARE) en ce) 
présente au moins q variations de signe (*). 
Supposons, pour un instant, que cette suite présente seule- 
ment g—s variations de signe : nous pourrons former un 
polynôme 
lb in l 4 ; 
PL) tar ar ER EE Ext, (à) 
tel que si F(x,) et F(x,,,) sont de signes contraires, o(x) s'an- 
nule dans l'intervalle x,, x,,,. pour une seule valeur de x. Par 
suite, la quantité o(x)F(x) aura le même signe pour x = x, 
Los . X3 Et l'ON ne pourrait avoir : 
comme on le déduit des équations (4) et (5). 
De là résulte que la suite F(x), F(x), .…., F(x,) ne peut pré- 
senter moins de g changements de signe : c’est la proposition 
énoncée. 
() Exemple : Le polynôme F(x) — 5110 — 14508x° + 6559x° satisfait 
aux conditions : 
F(x,)æ + F(x,)x2 + F(x.)æ! — 0, 
F(x,)æ5 + F(x,)æ5 + F(x:)æ5 = 0, 
pour æ, =+, æ, — 1, x, — 2: Dans le cas actuel, m — 5, q — 2. 
On a : 
F(2)—92532, F(1)——92646, F(2) = 294; 
la suite 
FCME() RE (2) 
présente deux variations; ce qui est conforme au théorème. 
