GÉNÉRATION 
D’UNE 
SURFACE DU TROISIÈME ORDRE (). 
Supposons trois droites a, a,, a, trois plans a, &, a, el 
une gerbe O de rayons. Tout rayon de O rencontre les plans 
a, do, a en des points X3, X,, X;; les plans (a,X,),(a2X9),(a:X3) 
se coupent en un point dont le lieu est une surface du troisième 
ordre S;, contenant les trois droites a1, a, As. 
En effet, un plan quelconque coupe les trois faisceaux de plans 
(&), (@2), (az) suivant trois faisceaux homographiques de rayons. 
Le lieu des points d’intersection des rayons homologues, quand ces 
points coincident, est, d’après un théorème dû à M. Le Paie (**), 
une courbe du troisième degré passant par les centres des fais- 
ceaux. Le plan en question coupe donc la surface suivant une 
cubique, et la surface est bien du troisième ordre: elle contient les 
. droites &, &, a3. On pouvait d’ailleurs s'assurer immédiatement 
de l’ordre de la surface, en remarquant que les trois faisceaux 
(a), (a), (as) forment une homographie du troisième ordre et 
du second rang H5. Nous pouvons donc énoncer ce théorème : 
Soit un trièdre dont les faces passent constamment par 
trois droites fixes : si ses faces coupent les faces d’un autre 
(‘) Note présentée à la Société des sciences le 26 octobre 1886. 
(‘*) Mémoire sur les courbes du troisième ordre, seconde partie (Mémoires 
DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE, t. XLIIT). 
