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La courbe cherchée est donc du huitième ordre; elle possède, 
visiblement, les points doubles 
: A; A, AÀ5,.. A3, A. 
Soit : 
C4 (D A» A 242) .…… A6); A2) A2) (4) 
cette courbe. 
Recherchons maintenant le lieu des points M'et M” coïncidents. 
Sur un rayon de P il existe quatre de ces points, répondant 
aux points doubles de l’involution |} correspondante. Or, le 
point P est le point double correspondant au point tangentiel IT 
de P sur la cubique 
C;(P, A1, As, As, Ao). 
Donc, le lieu cherché est une courbe du cinquième degré 
Cs(Pu Aa Ac) .. Asa Aou). (2) 
Considérons un quelconque des points d'intersection B des 
deux courbes (1) et (2), différents de P. Remarquons que ces 
deux courbes marquent, sur le rayon PB, les points doubles et 
les points de ramification d’une même involution du troisième 
ordre et du premier rang. Done, le point B représente, ou bien 
un point double et son point de ramification correspondant coïn- 
cidents, ou non. Dans ce cas, au point B, considéré comme 
point de ramification, correspond un point double B’, et au 
point B, considéré comme point double, correspond un point 
de ramification qui doit coïncider avec B’, sans quoi l’involution 
serait décomposable (*). C’est ce qui a lieu quand nous prenons 
pour points B les neuf points 
A;, À, .. A3, A3, A9. 
Nous déduisons de là que dans un faisceau de cubiques, il en 
existe dix-huit qui ont pour tangente d’inflexion un rayon d’un 
faisceau P, ou, ce qui revient au même : les iangentes inflexion- 
(*) Voir C. Le Parce, Essais de Géométrie supérieure, p. 65. 
