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La transformée d’une droite quelconque A sera une courbe 
plane. Sur un rayon PM se trouve un seul point de cette courbe, 
et comme elle passe deux fois par le point P, puisque A rencontre 
deux fois la fondamentale de P, cette courbe sera une cubique à 
point double. 
Soit C, une courbe gauche ou plane d'ordre n : un plan 
quelconque passant par P la coupe en n points auxquels 
correspondent n points conjugués situés dans ce plan. Or, P est 
2n fois un point conjugué de la courbe C, ; done, la transformée 
de cette courbe est de l’ordre 5n et possède un point multiple 
d'ordre 2n en P. Si la courbe C, possédait aux points de base 
et en P des points multiples d'ordre &,, &, … a$ et p, la 
courbe résultante se décomposerait en une courbe d'ordre 
Sn — (4, + Go + + + &4), possédant un point multiple d'ordre 
2n + p — (ay + à + - + «,) en P, et en les droites multiples 
PA,,... PA,. Il s'ensuit qu'à une surface À, d'ordre n correspond 
une surface d'ordre 5», ayant cn P un point 2n%° et possédant 
aux points de base des points d'ordre n. 
Cette transformation va nous donner le moyen de démontrer 
que les quadriques d’un faisceau passent par une même courbe 
gauche d'ordre quatre. 
Considérons, en effet, une quadrique du faisceau (A); sa 
transformée est, d’après ce qui précède, une surface du sixième 
degré, ayant en P un point quadruple. Or, comme on peut le 
voir facilement, cette surface se décompose en la quadrique 
elle-même et en une surface du quatrième ordre à point qua- 
druple, c’est-à-dire en un cône du quatrième degré. Ce cône 
coupera la quadrique ordinairement suivant deux courbes du 
quatrième degré. 
Considérons un rayon quelconque du cône; il coupe la sur- 
face du second degré en deux points, dont l’un au moins est tel 
que, par ce point et la base (A), on peut faire passer une infinité 
de quadriques. 
De plus, il n'existe qu'un de ces points, sans quoi le rayon 
considéré serait un rayon double, ce qui n’a pas lieu en 
général. 
