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23. Remarque. — La démonstration de M. Émile Mathieu 
est plus simple que la démonstration ordinaire. Elle a aussi 
l'avantage de remplacer l’équation (1) par l'équation (4) qui est 
beaucoup plus générale. 
24. Nous venons de voir que l’équation : 
oT 
= Tr 
dqs 
Ps 
résulte de la forme particulière des quantités P et Q, puisque, 
pour la démonstration de cette formule, nous avons remplacé Q 
par x, y, z, et P par mx’, my', mz'. 
Or, M. Mathieu a démontré que cette formule a lieu toutes 
les fois que la fonction H se compose d’une fonction — U ne 
renfermant que les variables Q, et d’une fonction T homogène 
et du second degré par rapport aux variables P, cette fonction T 
pouvant contenir les variables Q d’une manière quelconque. 
En effet, la fonction T étant homogène et du second degré 
par rapport aux quantités P, on à : 
2T = P, — + 9 — + + P,, — 
Mais l'équation (4) peut être mise sous la forme : 
1 1Q, 1Q 
«a 0P, + Qu, + ee. + : _. Ps 
dt dt dt 
dP, 50 dP, 50 dP;, 30 T == JU 
QE CR PCT A TIR RES 
Or, nous supposons qu'il existe des relations entre les 
variables Q; mais il n’en existe pas entre les variables P. Par 
conséquent, les variations dP sont indépendantes. D'ailleurs, 
T étant une fonction des P,, Q,, et U ne renfermant pas les P,, 
nous aurons, en égalant les coeflicients des dP, dans les deux 
membres, les équations : 
oT 
dP, 
7 RAS ONE à DINAN 
*e Q;, pe Qu 
Le 
LA 
Qi »P, dP, 
