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On a donc, en substituant dans l'équation (4) : 
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et, par suite, 
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C'est la formule de Lagrange que nous avons trouvée précé- 
demment (n° %). 
31. Remarque II. — Le principe d'Hamilton, comme celui 
de la moindre action, ne fournit qu’une propriété du mouve- 
ment; il ne donne pas d’intégrale du problème. 
32. Remarque III. — Le théorème d'Hamilton est distinet 
de celui de la moindre action. L'intégrale dont la variation est 
nulle, dans ce nouveau principe, diffère seulement, comme nous 
le verrons plus loin, de celle de la moindre action, dans le cas 
où le principe de la moindre action a lieu, par l’addition d’un 
terme proportionnel au temps. Mais, les conditions sous lesquelles 
la variation est nulle sont ici complètement changées, et le 
temps du trajet qui, dans le principe de la moindre action, ne 
jouait aucun rôle, est actuellement une des données de la ques- 
tion, tandis que la constante des forces vives qui était donnée 
alors, ne l’est plus dans le nouveau principe. 
Si l’on applique, par exemple, les deux théorèmes au mouve- 
ment elliptique d’une planète, dans le premier (celui de Ja 
moindre action) le chemin réellement parcouru est comparé à 
tous les chemins possibles, ayant les mêmes extrémités, et pour 
lesquels la vitesse en chaque point est exprimée par l'intégrale 
des forces vives; dans le second, ce chemin est comparé à tous 
les chemins parcourus d’une manière arbitraire sous la seule 
condition que la durée du trajet ait une valeur donnée. 
