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IV. 
Équation différentielle partielle d’ Hamilton. 
33. Le principe d’'Hamilton nous apprend que, s’il existe 
une fonction de forces U, et si l’on donne les valeurs initiales 
et finales des coordonnées, c’est-à-dire si les positions extrêmes 
du système restent fixes, la variation de l’intégrale 
0 UE, 
lo 
doit s’annuler en vertu des équations du mouvement (n° 29). 
Supposons maintenant que les positions initiales et finales 
ne Soient pas fixes ("); alors les variations dg; ne sont pas nulles 
pour lés limites & et €. Nous allons voir que si l’on développe 
la variation 
> f (T + Ujdt, 
lo 
il n’y a que la partie de cette variation; située sous le signe / qui 
soit nulle, en vertu des équations canoniques. Cette variation 
ne renfermera donc aucun signe /, ou, ce qui est la même 
chose, la variation de T + U sera une différentielle exacte. 
Nous pourrons même supposer, dans la démonstration, que 
la fonction de force U renferme explicitement le temps. 
Supposons les 5n coordonnées x, y;, 7; exprimées en fonction 
des 5n — m—k variables nouvelles q;, go, 4, de manière 
que les » équations de liaisons soient identiquement satisfaites. 
Posons : 
T+U—», et vf sd; 
to 
(") Jacosr, Vorlcsungen über Dynamik, p. 145. 
