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done, la quantité sous le signe /”se réduit à : 
oT 
0T D dq! 
Dee 
dqi  dq: dt 
Or, en vertu des équations différentielles du mouvement de 
Lagrange (n° 9), tous les termes de cette somme sont nuls sépa- 
rément, puisque £—3n — m : par conséquent, l'intégrale dispa- 
raît, et il vient : 
t dp dp | 
EE) eu = D — 94, — — 
De à 2 dq: 1 2 LE og: 
— Ÿ pd: — Ÿ p;0q?. 
34. Dans l’hypothèse précédente (n° 29), on donnait les posi- 
tions initiales et finales, c’est-à-dire les valeurs initiales et finales 
des Q,, et, par suite, 0q? — 0, dq; — 0, et l’on obtenait : 
= f edt = 0; 
lo 
c’est le principe d’Hamilton. 
lo 
Dans le cas actuel, les positions extrêmes étant arbitraires, 
les 9q; ne sont pas nuls aux limites, et, par suite, on a : 
N = D poqi— D po! (2) 
et le second membre n’est pas nul. 
D'ailleurs, lorsque les positions extrêmes sont données, les 
variations 9q, sont nulles aux limites {, et #, et les constantes 
arbitraires introduites par l'intégration sont complètement déter- 
minées par les positions extrêmes des points du système, 
lesquelles sont. données. Au contraire, si les positions extrêmes 
sont arbitraires, les q,, q:, et, par suite, les p, qui sont liés 
aux 9; par l'équation (1), sont des fonctions de #, et des 2% 
constantes arbitraires. La fonction 
al 
\ = edt, 
d' 
