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C'est léquation différentielle partielle d’Hamilton à laquelle 
satisfait la fonction 
considérée comme fonction de £, q,, qg?. Cette fonction V renferme 
donc 4 constantes arbitraires; si l’on augmente V d’une nouvelle 
constante additive, elle satisfera encore à l'équation (7), et nous 
aurons ainsi une solution renfermant £ + 1 constantes arbi- 
traires, c’est-à-dire une solution complète. 
L'intégration des équations canoniques donne donc une 
solution complète de l'équation aux dérivées partielles du 
premier ordre (7). 
37. Inversement, si l’on pouvait obtenir cette expression 
de V, on aurait, en vertu des équations canoniques, 
aV dV 
VA ET 
et les secondes de ces équations, au nombre de k, seraient les 
intégrales finies du problème. 
Nous trouvons ainsi une liaison entre les deux problèmes de 
l'intégration des équations de la mécanique, et de l'intégration 
des équations différentielles partielles du premier ordre. 
Tout ce que nous venons de dire serait encore vrai, si la 
fonction 9, au lieu d’être égale à T + U, désigne une fonction 
quelconque des quantités £, q;, g: : c’est ce que nous verrons 
dans le chapitre suivant. 
3s. Remarque. — Dans les problèmes de mécanique, la 
fonction Ÿ prend une forme très simple. Pour trouver cette 
forme, reprenons l’équation 
o— pq —#, 
et remplaçons 9 par sa valeur T +U, U désignant une fonction 
des q, seulement, ne renfermant pas explicitement le temps, 
et T une fonction homogène et du second degré des gq;. 
