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Or, le premier de ces trois déterminants se réduit à son 
premier lerme 
dd dpe dd, 
dX: dTe dx 
el le second est égal à l'unité. 
On a donc : 
qu au de d, 
=— Re (A) 
0x: da dx, 
Cela posé, si le déterminant fonctionnel R des fonctions 
far les … f, est identiquement nul, la formule (A) nous permet 
de démontrer que les fonctions f ne sont pas indépendantes les 
unes des autres. 
En effet, si R — 0, il faut que l’un des facteurs : 
s’'annule identiquement. 
Mais, les n — 1 premiers facteurs sont, en général, différents 
de zéro, puisque, par hypothèse, 4, contient explicitement «1, 
JA contient x, etc. 11 faut donc que ce soit le dernier facteur de 
qui s’annule identiquement, c’est-à-dire que, par suite des A 
stitutions successives que l’on a faites, la dernière fonction %, 
ou /, ne doit plus renfermer x, explicitement, et peut, par 
conséquent, s'exprimer au moyen de fi, f2, … f,_, Seulement. 
Il s'ensuit donc que, si R—0, il doit exister entre /,, fa, …. fs_1, fs 
une relation indépendante de x,, xo, … %,. 
Cependant, il peut aussi se faire que, par suite des substitu- 
tions en question, aucune des fonctions 4, d,_1, … d,_,, ne 
renferme explicitement x,, %,_1, … —%,4. Il est évident que, 
dans ce cas, l’on aura identiquement : 
) Me TE 
2 Ÿ og = Ÿ qe (B) 
co dXh1 dX 4 
