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On voit donc que la fonction principale d’Hamilton : 
vf (T + U)dt, 
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ne diffère de la fonction S que l’on considère dans le principe 
de la moindre action que par l'addition d’un terme proportionnel 
au temps (n° 32). 
S = f 2Tdt , 
lo 
La fonction : 
a reçu d'Hamilton le nom de fonction caractéristique. Elle satis- 
fait à l’équation différentielle partielle (3). 
5s. Il est facile de s'assurer que le théorème de Jacobi (n° 34) 
peut être modifié de la manière suivante quand il existe une 
fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps : 
THÉORÈME. — Si la fonction de force. U ne renferme pas 
explicitement le temps, de telle manière que le principe des 
forces vives ait lieu, et si l’on remplace dans l’intégrale des forces 
vives : 
T—U—h, (h étant une constante) 
laquelle est une des intégrales du problème, les quantités p, 
par E on formera l'équation différentielle partielle : 
r | JS 2$ = U L 
(9 PSE CON PO or Ye) 1 0 (4 … q,) = A. 
lis Je Qns VAE va (gis Gas +. Qh) 
Si l’on connaît une solution complète quelconque S de cette 
équation, c’est-à-dire une solution qui, outre la constante additive, 
renferme les n — 1 constantes arbitraires &, 42, … æ,_1, les 
intégrales du problème seront : 
dS dS dS 
— = $, —— 9, —6,, 
dx, dt da 1 
| 
=t— lo, 
ù 
= 
l 
e 
Bis Bas B,_13 to étant de nouvelles constantes. 
