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Mais, les dp° sont indépendants les uns des autres, ce qui ne 
peut avoir lieu que si le déterminant des coefficients : 
est différent de zéro. 
Mais, si R est différent de zéro, les qg; s’exprimeront en fonc- 
tion des p? sans qu'il exisle aucune équation de condition entre 
les q, (n° 50). Donc, si R est différent de zéro, il n’existe aucune 
équation de condition entre les q;, et par conséquent les dg, sont 
indépendants les uns des autres. 
Donc, la condition pour que les dq, soient indépendants les 
uns des autres et indépendants des dq°, est que le déterminant R 
soit différent de zéro. 
D'ailleurs, les p? peuvent être exprimés en fonction de #, 
des q, et des q°. Or, si l’on reprend les équations (2), les 24 con- 
stantes arbitraires des intégrales de ces équations pourront être 
exprimées en fonction des q° et des p}; mais, les p; étant exprimés 
en fonction de #, q; el q°, il en résulte que les 2k constantes 
d'intégration peuvent être exprimées en fonction de #, q; et qi. 
C'est ce qui arrivera lorsque la fonction H est telle que le 
déterminant : 
R' = > ] 
dP1dp1 dPa0Pa dPxdPx 
est différent de zéro. Car, en posant : 
YH YH ’H 
dH dH 
CL el … — = 4, 
On 312 : 
HN ue 
dPr dPe dPk 
Or, si R’ est différent de zéro, les f, s’exprimeront en fonction 
des p;, sans qu’il existe aucune relation entre les j, : ces fonc- 
tions f, sont donc indépendantes les unes des autres (n° 50). 
Par conséquent, les équations : 
= f\; De .…. gi fr; 
