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sera une solulion complète de l'équation differentielle par- 
tielle (A), et les 2k équations : 
AV) AV) 
ee di 0 
dq; dp, 
Sur UE 
seront les intégrales complètes du système (B) (‘). 
XII. 
Théorème de M. Liouville. 
69. Nous allons d’abord démontrer un théorème de 
M. Donkin (”) dont on fait un fréquent usage dans les théories 
de l'intégration des équations canoniques, et de l'intégration 
des équations différentielles partielles du premier ordre. 
Ce théorème exige l'emploi de notations nouvelles intro- 
duites par Poisson, et par M. Donkin, et que nous devons faire 
connaitre. 
Si l’on suppose que x et 5 sont des fonctions des quantités 
Pas Pas ce Puy Gis es ns ON doit à Poisson la notation sui- 
vante (”””): 
oz 08 dx dB 
&9=$( RQ + &) 
A Voqi op dpi 0q. 
M. Donkin ("), de son côté, a introduit une notation symbo- 
lique pour représenter la quantité entre parenthèses. 
Il pose : 
(") On peut encore consulter sur cette question une Note de M. Bertrand, 
insérée dans les Comptes rendus du 20 mars 1876, p. 641. 
(”*) Philosophical Transactions, 1854, p. 85. 
(***) Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (JouRNAL DE L'ÉcoLE 
POLYTECHNIQUE, 19° Cahier, p. 281). 
(**) Philosophical Transactions, 1854, p. 72. 
