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Nous pourrons donc prendre pour intégrales du problème 
les trois équations : 
(LE 
u c0$ 0 — s) 
v° cie u? a HR = k?, 
sin” 4 
1 sin ÿ j? 
9h —— Ù COS Ÿ + (u —S COS 6) — 
À | sin 0 (7) 
| c COS D l 
+ —{—vsing + (u — S COS 8) - — 
B sin 6 | 
1 9 * 
+ —s"("). 
An) 
Il est facile de voir que ces trois intégrales satisfont aux 
conditions : 
(y; h) = 0, (h, k) —= 0, (k, ) — 0. 
Nous pourrons donc appliquer le théorème de M. Liouville 
(n° #3). Les équations (7) serviront à déterminer u, v, s en 
fonelion de 8, +, d; nous pourrons alors déterminer la fonction V 
par une simple intégration, el nous aurons : 
V = f (sdy + ud? + vd). 
(‘) Il est d’ailleurs évident (n° ##) que l'équation : 
u —= consl., 
est une intégrale du problème. 
En effet, si l'on exprimait T en fonction de », #, 8, +’, #", #”, au moyen 
des formules (1), T ne renfermerait pas la variable +, mais elle renferme- 
rait sa dérivée +’. D'ailleurs, la fonction de force U étant nulle, elle ne 
contient pas la variable +. Par conséquent, l'équation : 
ou bien : 
u = consl., 
est une intégrale du problème. 
