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Or, (Z, Z) est identiquement nulle; par conséquent, on devrait 
avoir : 
c’est-à-dire que Z ne devrait pas renfermer explicitement le 
temps £. 
On conclut de là que, dans le cas où Z est une fonction du 
temps, l'équation Z — const. n’est pas une intégrale des équa- 
tions (1). 
404. THÉORÈME DE M. LiOUviLLE. — Si, par un moyen 
quelconque, on peut déterminer n intégrales du système (1) : 
Pa y pe — os» Qn — Ans (5) 
renfermant n constantes arbitraires, et satisfaisant aux 2 t 
condilions : 
(pis x) = 0, ou (a;, ax) = 0, (4) 
pour les valeurs 1,2, n de ï et de k, on pourra facilement 
obtenir les n autres intégrales. 
A cet effet, on déduira des n équations (3), les valeurs de 
Pis Pas se Pas en fonciion de qu, q: .… Qu, 4, 4, t, etoiles 
substituera dans l'expression : 
aN — pidqi + ee + p,dq, TT (Z)dt, (5) 
laquelle sera une différentielle exacte, (Z) désignant comme pré- 
cédemment le résullat que l’on obtient en substituant dans Z les 
valeurs de p,, … p,, tirées des équations (3), de sorte que (Z) est 
une fonclion de qi, .… An, A, .… à, t. 
En intégrant l'expression (D), on obtient la fonction V, et alors 
les n autres intégrales du système (1) s’obtiennent en égalant à 
des constantes les dérivées de la fonction V, prises par rapport 
aux constantes a,, .… à,. 
Demonstration. — 1° L'expression : 
pdqi + + + p,dq, — (Z)dt, 
h . 
