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En substituant et réduisant, il vient : 
(/, q) 
(B 9) = $ ee 5) (x, vw). (3) 
D’après cela, si k,, k&, … k,, sont m fonctions, telles que f, g, 
des m constantes &,, &,..a«,, NOUS aurons pour une paire de 
ces fonctions : 
(ui, 2), (4) 
la somme se rapportant aux combinaisons binaires de, ,4,, 2, 
c'est-à-dire aux indices 2 et 7. 
#14. Nous pouvons déduire de là les équations inverses que 
l’on obtient en considérant à, ,,,… «, comme des fonctions 
de k,, k.,… k,. Nous trouverons ces équations inverses en rai- 
sonnant de la même manière que ci-dessus, ou bien en multi- 
pliant l'équation (4) par ÿ ee a , et faisant la somme par rapport 
à p, q. Nous aurons : 
(a a)= > — TE (k,, k), (5) 
la somme se rapportant aux combinaisons binaires de k,,k:,...k,.. 
Cette réciproque serait en défaut dans le cas où les équations 
qui expriment k,, k,, … k,, en fonction de &,,« ,.… «,, ne sont 
pas indépendantes les unes des autres, hypothèse que nous 
excluons, en supposant que 4,, k,, … k, sont m intégrales 
distinctes. 
115. Les formules que nous venons de trouver conduisent 
aux conséquences suivantes : 
1° Sifest une fonction donnée de «,, &, … æ,, la détermi- 
nation d'une autre fonction g, telle que l’on ait {f, g)—0, dépend 
de l'intégration d’une équation aux dérivées partielles linéaire 
du premier ordre (). 
(*) Nous reviendrons plus loin sur cette propriété. 
