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on a pour deux de ces intégrales : 
J'y — yx')dm = à, 
S'\uz' — 2°) dm = 6. 
Or, l'équation : 
(x, 6) = const. 
nous donne : 
J'x' — xz’) dm = const. 
ce qui est la troisième intégrale des aires. 
XX. 
Theorèmes de M. Bertrand. 
121. Poisson n’avait tiré aucune conséquence de son théo- 
rème. C’est Jacobi qui, trente ans après la découverte de Poisson, 
a le premier signalé l’utilité de ce théorème qu'il considère 
comme le plus important du calcul intégral (*). « Cependant, 
» dit-il, on le croirait complètement inconnu; car, on ne le 
» trouve dans aucun Traité de mécanique, ni dans aucun 
» ouvrage sur l'intégration des équations différentielles. » 
Jacobi n'hésite pas à en conclure que probablement personne, 
ni Lagrange, ni Poisson lui-même, n’en a soupçonné l’impor- 
tance. 
Le théorème de Poisson conduisit Jacobi au théorème suivant : 
THÉORÈME DE JAcoBi. — Dans tout problème de mecanique 
auquel s'applique le principe des forces vives, si l’on connait 
deux intégrales autres que celle des forces vives, on pourra 
trouver toutes les intégrales restantes, sans aucune nouvelle 
intégralion. 
Nous avons démontré le théorème de Poisson étendu au cas 
(*) Jacorr, Nova methodus (Journaz DE CReLLE, t. LX, pp. 45 et 46); 
Comptes rendus, Paris, 1840; Journal de Liouville, t. V, p. 550. 
