( 206 ) 
Ainsi donc, dans le cas où H ne renferme pas explicitement 
le temps t, il est impossible de former une nouvelle intégrale 
par la formule de Poisson appliquée à deux intégrales dont l’une 
serait H — const. 
C’est ce qui arrivera, en particulier, lorsque l’une des deux 
intégrales «, Ê sera l'intégrale des forces vives. Nous aurons le 
théorème suivant : 
THéORÈME. — Toute intégrale combinée avec celle des forces 
vives donne à l’équation de Poisson une forme illusoire. 
125. Le théorème de Poisson peut, comme nous venons de 
le dire, conduire de deux manières différentes à un résultat 
illusoire. Il peut arriver : ou bien que l'équation de Poisson se 
réduise à une identité, telle que 0 —0, ou 1 —1, ou bien 
qu’elle donne une intégrale qui soit une combinaison de celles 
dont on l’a déduite. 
M. Bertrand a démontré (") que ces deux cas se rattachent 
l’un à l’autre; il en conclut, par conséquent, que, pour les étu- 
dier, il suffit de considérer les intégrales qui, combinées avec 
une intégrale donnée, donnent à l'expression de Poisson une 
valeur identiquement constante. Il indique ensuite le moyen 
de trouver l’une de ces intégrales lorsque l’autre est connue, 
et il prouve qu’il en existe toujours. 
126. Voici le théorème qui permet de rattacher l’un à l’autre 
les deux cas d’exception : 
THÉORÈME. — Si a—ç, B—4 sont deux intégrales d’un 
même problème, telles que (x, Ê) est une fonction de x et de fi, 
il existe toujours une fonction de « et de Ê, qui, égalée à une 
constante y, donnera une intégrale telle que (x, y) soit identique- 
ment égale à l’unité. 
En effet, on a, par définition : 
dx dY dx 2! 
Se | 71 
(*) Journal de Liouville, t; XVII, p. 595. 
nés Éd nd ds 
