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En continuant ainsi, on arrivera à une fonction & qui est : 
1° Ou bien une constante, et la proposition est démontrée, 
puisque la fonction précédente satisfait à la condition énoncée; 
2° Ou bien une fonction des précédentes (”) : dans ce cas, 
comme on sait (n° 42%), en formant une fonction & convenable 
des intégrales successivement obtenues, on aura une intégrale 
qui, combinée avec «, donnera un résultat identique. On a même 
vu (n° 42%) que l’on peut obtenir plusieurs intégrales distinctes 
les unes des autres, telles que l’on ait: 
(HN) 0 4 our El. 
Nous avons vu (n° 424) que l'intégrale des forces vives 
donne toujours un résultat identique, quelle que soit l’intégrale 
avec laquelle on la combine. Combinée avec une intégrale & ne 
contenant pas explicitement le temps, elle donne (&, H)—0; 
et combinée avec une intégrale renfermant exphcitementle temps, 
elle donne (x, H) = — 1. 
On pourrait se demander si l'intégrale £ dont nous venons 
de démontrer l'existence, et telle que l’on ait : 
(GEO NM IAE) EE 
n’est pas ou l'intégrale des forces vives, ou une fonction de cette 
dernière. 
Le théorème suivant prouve que l'intégrale des forces vives 
n’est pas la seule qui remplisse cette condition, ce qui d’ailleurs 
est déjà évident, puisqu'il existe un grand nombre de fonctions E. 
429. ThéORÈME. — Quelle que soit une intégrale donnée : 
U— p(qi .… PE Pi +. Ph 
il existe toujours au moins une autre intégrale À, qui n’est ni 
léquation des forces vives, ni une fonction de celle-ci, et qui, 
combinée avec x, donne un résultat illusoire : 
(a, 2) 0 ou” (ea) = 
(‘) Car les intégrales distinctes sont en nombre limité. 
