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Des théorèmes précédents, M. Bertrand déduit celui-ci : 
430. THÉORÈME. — Quelle que soit une intégrale donnée à, 
on peut toujours compléter la solution du problème en y adjoi- 
gnant d’autres intégrales f,, B;, … ._,, lesquelles, combinées 
avec à, donnent à l’équation de Poisson une fornie identique : 
(ce, Bi) = 1, (a, Ba) = 0, .. (x, Ban 1) = 0. 
Comme nous l'avons vu par le théorème précédent, quelle que 
soit l'intégrale «, il existe toujours une fonction f,, telle que : 
(x, cn) — À, 
Nous devons maintenant démontrer qu’il existe 2n — 2 inté- 
grales distinctes de « et de f,, qui, combinées avec «, donnent 
(a, P) = 0. 
Désignons par y le nombre des intégrales satisfaisant à cette 
condition, f,, … B,,,, et supposons que l’on ait +1<2n—1. 
Il existera évidemment alors d’autres intégrales indépendantes 
de celles-là , ainsi que de « et de G,. 
Si 6,42 est une de ces intégrales, nous aurons : 
(a, Bus) = Buts 
B,13 étant, par hypothèse, différent de zéro. Je dis que f,,, sera 
aussi différent de l’unité; car, sans cela, des équations : 
(@, Bus) = 1, et (Bi) —1, 
on déduirait évidemment : 
(as Buse — B,) = 0; 
d’où il résulterait que B,,, — , serait une fonction de £,, 
B,,…. Bu, el, par suite, que P,,, ne serait pas une nouvelle 
intégrale. Par conséquent, B,.; est différent de l'unité. 
Puisque B..; est différent de zéro et de l'unité, posons : 
(2 Bus) = ue 
(a, Bars) = Bugs, ete. 
