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Gay ans) & étant une intégrale quelconque indépendante du 
temps, et autre que celle des forces vives. 
Ces diverses intégrales doivent donner, d’après le théorème 
de M. Bertrand : 
(æ , “) = 2 (æ, G) FT 0, (a , a) F 0, 
la dernière équation pour toutes les valeurs de à égales à 3, 
4, …2n — 2, c'est-à-dire pour + différent de 2. 
D’après ce que nous savons, les intégrales «,, æ, 
QE) an 2 9 
doivent satisfaire à l’équation aux dérivées partielles : 
* [OH à dH 0 
RE E }=0, (1) 
1 \0Qi dpi dr di 
ou bien : 
(4, €) EE 0, 
laquelle est aussi vérifiée par 6 — H, et dont la solution la plus 
générale est donc : 
EP a ati) 
Au contraire, pour &—G, le premier membre de l'équation (1) 
se réduit à l’unité, c’est-à-dire que l’on a : 
(H,G)— 1. 
Il est évident, d’après ce que nous venons de voir, que l’équa- 
tion aux dérivées partielles (1), qui est linéaire, peut remplacer 
les équations canoniques. 
Les travaux de Bour (*) consistent à montrer comment on 
peut abaisser l’ordre de cette équation : 
(H, ê) FT 0, (1) 
quand on en connaît une ou plusieurs intégrales. 
443. Examinons d’abord le cas ou l’on ne connaît que l’inté- 
grale des forces vives : 
H— h. 
(‘) Mémoires des Savants étrangers, t. XIV. 
