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Y étant une fonction arbitraire, cette équation ne sera plus une 
intégrale du problème, et cependant elle sera encore une inté- 
grale de (11). 
Il résulte de là que l’on ne peut pas remplacer purement et 
simplement l'équation (3) par les équations (11) et (15), puisque 
ces dernières admettent des solutions étrangères au problème, 
quoique l’on puisse former leur intégrale générale uniquement 
avec les intégrales de (1) et (3). 
Nous pouvons remarquer que les intégrales du problème sont 
les seules intégrales communes aux équations (11) et (15). 
449. Nous allons maintenant montrer quelle est la marche 
à suivre pour résoudre la question. 
Supposons que l’on connaisse les deux intégrales : 
H = (di; CE .. Qno Pi» P2 CA LA) 
y = /fi(qi, es «Un: Pis Pos « 0) 
Résolvons ces deux équations par rapport à p, et p,_,, et cal- 
culons les coefficients des équations : 
n°2 d ta dE d Le dE dC 
neue es on (11) 
1 | dg: op; dpi Ùq; dQn-1 
ET DD A FAN DE NA 
re enr (15) 
1 dqi dp; dp; 04; dq, 
Cela posé, cherchons à intégrer l’une de ces équations. 
Soit €, une intégrale de la première, par exemple ; rempla- 
çons € par &, dans la seconde (15). Si le premier membre est 
identiquement nul, 6, sera une intégrale du problème. 
Si le premier membre de (15) n’est pas identiquement nul, 
soit Z, le résultat de la substitution. Je dis que Z, — const. sera 
une nouvelle intégrale de (11). En effet, d’après la théorie des 
équations différentielles partielles linéaires, &, doit être de la 
forme : 
Gi —= g(ts; Ag vo Aon—9» An). 
