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134. ProPRIÉTÉs. — Les fonctions de Poisson (a,, a,) dans 
lesquelles a;, a, sont deux éléments ou deux constantes arbi- 
traires, jouissent encore de plusieurs propriétés remarquables. 
1° Elles sont indépendantes du choix des variables q, c’est- 
à-dire qu’elles restent invariables, quelles que soient les posi- 
tions des points matériels que l’on prend pour les variables q, 
pourvu que la signification des éléments n’en soit pas changée; 
2 Elles dépendent simplement des deux éléments a,, &, 
de sorte que la valeur de l’expression (a;, a,) reste la même, 
quelles que soient les constantes arbitraires choisies pour les 
autres éléments. 
Pour démontrer la première propriété, remarquons que, 
d’après la formule de Poisson (n° 464), les quotients diffé- 
rentiels des éléments variables sont égaux à des fonctions 
linéaires des dérivées partielles de la fonction perturbatrice Q, 
prises par rapport à ces éléments, et la fonction (a;, a,) est 
le coefficient de _ dans l'expression de LE Pour former ces 
dérivées, on doit exprimer Q en fonction des éléments et de £, 
et l'expression ainsi obtenue est complètement indépendante 
des fonctions des coordonnées des points du système que l'on a 
choisies pour les variables q. 
La fonction Q peut être une fonction arbitraire de t et des 
2n quantités q;, p;, laquelle peut, d’après cela, être une fonction 
arbitraire de t et des 2n éléments. 
Les fonctions (a,, a,) sont enfin tout à fait indépendantes de 
la fonction perturbatrice Q, et sont simplement déterminées 
par les formules du mouvement non troublé. 
Supposons que, par un choix des variables q, on ait trouvé : 
da, A )Q # )Q A )Q k 
— = À, — + A; — +... + A, 
dt ‘a ‘da ”* Ass 
el que, par un autre choix, on ait : 
da, 10 Ne dQ 
—" = B, — 
dt da, das dan 
