SUR 
LA DROITE ET LE CERCLE D'EULER. 
4. Soit un triangle quelconque T = ABC. Les pieds des hau- 
teurs sont les sommets d’un triangle T = A'B'C’, appelé triangle 
orthique ; les tangentes menées par A, B, C au cercle ABC sont 
les sommets d’un triangle T” = A”B”C”, appelé triangle tan- 
gentiel. Désignons par H l’orthocentre de T, par O le centre du 
cercle circonserit à T, par O’ le centre du cercle circonserit à T' 
(cercle d’Euler). 
Les triangles T’ et T” sont, évidemment, homothétiques. Les 
points H,0 en sont des points homologues, car ce sont les centres 
des cercles inscrits (cercles exinscrits, lorsque T est obtusangle); 
donc HO passe par le centre d’homothétie. D’où le théorème : 
Les droites A’A”, B'B”, C'C” qui joignent les sommets homo- 
logues du triangle orthique et du triangle tangentiel d’un triangle 
donné ABC, concourent en un même point P de la droite d'Euler 
de ABC. 
Pour préciser la position de P, observons que 
PH HA’ 9R cos B cos C 
— => = — = —————— — 9 cos A cos B cos C. 
PO" OA7 R sec A 
Les coordonnées normales de H cet 0 étant (2R cos B cos C, …), 
(R cos À, …), celles de P seront 
2R cos B cos C—R cos À. 2cos À cos BcosC  2R cos B cos C sin? A 
= ——————_—_—_—_———— 
À — 9 cos A cos B cos C cos’A+ cos’ B+cosC ? 
