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a. Soient «, 5, y, les milieux des côtés BC, CA, AB du 
triangle T = ABC. Supposons que 
Ox rencontre CA en x’, ABenz’'; 
O8 » ABen£’, BCen£''; 
O> » BCen>', CAeny'. 
O sera, évidemment, l’orthocentre de chacun des triangles AB'}", 
By'a”, Ca’P”. 
AO est perpendiculaire à B'y"; soit «, le point d'intersection 
de ces droites. Désignons par m, n, p, les milieux de B'y”, Ay”, 
A". Les points «, 8,7, m, n, p, appartiennent au cercle d'Euler 
du triangle Af'y”. 
Soumettons la figure à une inversion en prenant pour pôle le 
point À, pour module la quantité 
AB. Ay'’ — Ay . AB — AO. Aa,. 
Les points $, y, «, n, p, auront pour inverses les points y”, F, 
0, C, B. Donc: 
La circonférence qui passe par deux sommets B, C, d'un 
triangle ABC et par le centre O du cercle ABC, rencontre les 
cotés AB, AC aux mêmes points que les médiatrices (*) de AC, 
AB (”). 
BC et f'y" étant antiparallèles par rapport à l'angle BAC, 
Am est une symédiane du triangle ABC, et, par suite, passe par le 
point A”, pôle de BC par rapport au cercle ABC. On voit faci- 
lement que A” est situé sur la circonférence OBC. OA" étant 
un diamètre, la projection A, de O sur la symédiane AA" appar- 
tient à la même circonférence, c’est l'inverse de m; on sail 
que A, est un sommet du deuxième triangle de Brocard de T. 
Les circonférences «67, OCB sont également des figures 
(‘) Les médiatrices d’un triangle sont les perpendiculaires élevées aux 
milieux des côtés. 
(‘*) La démonstration directe de ce théorème se fait sans difficulté. 
