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homothétiques par rapport au point À, le rapport de similitude 
étant égal à :. De là, on peut conclure que la circonférence BOC 
passe par les symétriques de A par rapport aux milieux des 
droites By", Of", Oy”; le premier de ces points est A”, de sorte 
que A"B'Ay" est un parallélogramme. 
5. Le milieu de AA, est un point de la circonférence mnp; 
c'est aussi un sommet du deuxième triangle de Brocard de ABy. 
Mais G, y, sont les pieds de deux hauteurs de Af'y'; donc, si 
l’on considère AB'y” comme étant le triangle fondamental, on 
peut énoncer le théorème suivant : 
Soient A’, B' C' les pieds des hauteurs d’un triangle ABC. Le 
cercle d'Euler de ce triangle passe par un sommet du second 
triangle de Brocard de chacun des triangles AB'C', BC'A', CA'B, 
HB'C', HC'A', HA'B', AA'C', AA'B', … 
Ce qui fait douze nouveaux points de ce cercle. 
Pour trouver les neuf derniers points, on observe que les 
triangles HBC, HCA, HAB ont même cercle d’Euler que le 
triangle ABC. 
6. La circonférence OBC est aussi l’inverse de la droite BC, 
le cercle d’inversion étant le cercle circonscrit à ABC. Cette 
remarque conduit aux relations 
R° = Oa’. Ox”’ = Of’. 08” = 07’. 07" (1) 
R'— OA, . OA, = OB, . OB; = OC, . 0'C;, (2) 
où A», B, C sont les sommets du second triangle de Brocard 
de ABC, et A;, B;, C; les points de rencontre de OA:, OB:, OC 
avec BC, CA, AB. Les relations (1) résultent aussi de ce que les 
triangles OB£”, OB'B sont équiangles ; les autres, de ce que le 
cercle de Brocard passe par A, Ba, C2 et a pour inverse la droite 
de Lemoine A; B, C:. 
