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On en conclut 
ON, ON, ON, 
+ —— + — = cotV, 
a b c 
ON,.ON,.ON,— R;, 
a. ON,N, —b*. ON N, = c°. ON,N,. (4) 
La dernière relation montre que O est le centre de gravité 
des points N,, N,, N,, chargés de masses inversement propor- 
tionnelles à a?, b?, c?, de sorte que ON,, par exemple, divise N,N, 
dans le rapport b2, e?. 
Soient A,,B,, C; les sommets du premier triangle de Brocard. 
On sait que les droites AA,, BB,, CC; concourent en un même 
point D, ayant pour coordonnées barycentriques _. " 5: En 
combinant cette propriété avec l'interprétation géométrique des 
égalités (4), on voit que les points qui divisent les droites AN, , 
BN,, CN,, DO dans un même rapport sont tels que le quatrième 
point est le centre de gravité des trois autres chargés de masses 
inversement proportionnelles à a?, b?, €?. 
Un théorème analogue s'applique, d’une part aux droites AN,, 
BN,, CN,, Q'O, d’autre part aux droites AN,, BN,, CN,, Q0; 
Q désigne ici le point rétrograde, Q' le point direct de Brocard 
du triangle ABC. 
8. On peut trouver immédiatement six points de la circonfé- 
rence (N,). En effet, construisons les angles CBE, BCF égaux 
à BAC et silués du même côté de BC que A; soient E, F les 
points de rencontre de BE avec AC, et de CF avec AB. Les 
triangles BEC, CBF, équiangles avec ABC, ont même angle de 
Brocard V. Donc, les points A, E, F et leurs symétriques ©, £, @ 
par rapport à la droite A'O sont situés sur la circonférence (N,). 
Le groupe de ces six points jouit de propriétés très intéres- 
santes qui ont été signalées par M. Neuberg. Pour l'énoncé et la 
démonstration de ces propositions, nous nous contentons de 
renvoyer le lecteur à la Note de M. Vigarié. 
Nous ferons cependant une remarque nouvelle, qui nous sera 
