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Nous avons obtenu la valeur du rayon de (M,) par le calcul. 
M. Neuberg nous en communique la démonstration suivante : 
Les bissectrices AT, BIT, CT rencontrent la circonférence (0) 
aux sommets d’un triangle LMN dont ces droites sont les hau- 
teurs. Il suit de là que trois forces représentées par OL, OM, ON 
ont une résultante représentée par OI. Si, maintenant, nous 
prenons sur BA, CA les longueurs BP — CQ — BC, la droite PQ 
est la résultante des trois droites PB, BC, CQ, égales entre elles 
et perpendiculaires, respectivement, à ON, OL, OM; donc PQ 
est également perpendiculaire à OI, et 
no — ue = 2 sin À. 
OI OL 
On conclut de là que OT est égal au rayon du cercle circonserit 
au triangle APQ. 
Le même géomètre observe que, si l’on prend sur les prolon- 
gements de AB, AC des longueurs BP’ et CQ' égales à BC, les 
rayons des cercles circonscrits aux triangles AP'Q', APQ', AP'Q 
sont égaux aux droites joignant O aux centres L,, [,, I des cercles 
circonscrits à ABC et que les bases P'Q', PQ’, P'Q sont perpen- 
diculaires aux droites OI, , OI,, OI... 
#4. Lorsque la base BC est fixe et l'angle de Brocard V 
constant, le sommet À, d'après ce que nous avons vu, décrit un 
cercle (N,). Considérons les cercles (N,) des triangles variables 
ABC. L'angle ACN, et le rapport CA : CN, étant constants, le 
point N, décrit une circonférence; il est facile de voir que N, 
décrit la même ligne. L’enveloppe de (M,) est la podaire de B 
par rapport à cette circonférence; c’est done un limaçon de 
Pascal dont le point double est en A. 
Transformons ce résultat par inversion en plaçant le pôle 
en B. On verra que la droite de Lemoine de tous les triangles 
équibrocardiens construits sur BC, enveloppe une conique ayant 
B et C pour foyers. 
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