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3. Pour définir le système affinement variable, nous pouvons 
choisir trois points quelconques du système. Prenons pour ces 
points les sommets d’un triangle M,M,M; autopolaire par rap- 
port à la conique 9. Les coefficients des rectangles mm, mom, 
mm, dans la fonction q(m), devront être nuls. Par conséquent 
Si+ Si = Sy, S2+Ss—= Sas S5s+ Si = Su, (4) 
(nm, + ma + m3) S — mis, + mis, + MmSS;. (5) 
On peut prendre arbitrairement le sommet M, du triangle 
conjugué ; les sommets M,, M; sont deux points conjugués d’une 
certaine involution ayant pour support la polaire de M,. Combi- 
pant celle remarque avec les relations (4), on arrive à la propo- 
silion suivante : 
“Si l’on considère une figure affinement variable, on peut 
trouver une infinilé de couples de points M, , M; tels, que l’aire 
relative déterminée par le segment MM; entre deux posilions 
données de la figure, soit égale à la somme des aires délerminées 
par les points M,, M;. À chacun de ces couples, on peut adjoindre 
un troisième point M,, tel que les couples M,M:, M,M; jouissent 
de la même propriélé que le couple M,M;. 
Plus généralement, prenons pour M,M,M; un triangle auto- 
polaire par rapport à une conique dont tous les points détermi- 
nent une aire donnée S. L'équation (3) représente une telle 
courbe; en exprimant que les rectangles mimo, mom, Msn Y 
manquent, on trouve 
2S—S, + S3 — Sie = Sa + Ss — Sos = S5 + Si — Su, 
(ani + m3 + mi)S = 2miS,. 
De là, on couclut le théorème suivant : 
Dans le mouvement d’une figure affinement variable, d’une 
première position à une autre, il existe une infinité de triangles 
MMM; tels, que l’excès de la somme des aires déterminées par 
deux sommets sur l'aire relative déterminée par le côte corres- 
pondant, a une valeur constante 2S. Tous ces triangles sont 
Te 
