C0) 
logues à celles qui ont déjà été employées, on trouve la relation 
(m,--m++m, ŸS = (m,+ m4 +m,) (nn Si+mSit +m,s,) | 
(6) 
— (in MS se + MaMsSos +»). \ 
Menons les droites ON,,, OC,,, OD,, respectivement égales et 
parallèles aux droites M,M,, A,A,, B,B.. Si nous faisons parcourir 
aux points M,, M:, …, avec des vitesses uniformes, les droites 
A,B,, A,B;, …, les points M, Ni, Nos, … décrivent uniformément 
les droites AB, C;2Dy9, CosD9s, … Donc en désignant par T, T,, 
T,, les aires des triangles OAB, OA,B,, OC,,D.., on peut écrire 
(nimes 4m, JT = (nitmettm,) (nTe+meT + +, T,) ) 
( (7) 
— (mimTe + MMM T 25 + v…) ] 
La démonstration directe de cette égalité n’offre aucune diffi- 
culté. En effel, si (œ, B), (æ, B), …, (y, 9); (71, da), … sont les 
coordonnées des points À, A,,.…, B, B,,.….,ona 
Zm,x, 2m, 
ZEmB, 2m, 
1 
Un mat + m,) 
L 
et le dernier déterminant est une fonction du second degré en 
Mi, Mo, .…, dans laquelle les coefficients de m?, mim;, … ont 
pour valeurs 2T,, AT, + T, — T,:), 
Revenons au cas où les trajectoires des points M,, M3, … sont 
quelconques. En soustrayant l’une de l’autre les égalités (6) et (7), 
et en posant 
S— T — U, S; DE T, = U,, QLEE) Syo — Ty = Us, LOL 
nous aurons la formule 
(m,+m,+..+m,)Ù—=(m+m+...+m,) (nl, +mU:+e +m U,) | (8) 
— (mime + Mam;Uss ++). \ 
La signification des quantités U, U,, …, U,2, … est très simple. 
Au premier abord, on peut dire que ce sont les aires comprises 
entre les arcs de courbe AB, A,B,, …, C,2D,2, … et leurs cordes. 
