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6. La définition du n° 2 a encore l'avantage de se prêter à 
une extension à la géométrie de l’espace. Elle conduit, en effet, 
immédiatement à la transformation suivante : 
On prend pour transformé du point M le point M' diamétra- 
lement opposé au premier dans la sphère s passant par le point 
M et un cercle fixe TV donne dans l’espace. 
Prenons pour plan des xy le plan du cercle F, pour axe des z 
la perpendiculaire élevée à ce plan par le centre O de ce cércle. 
Appelant (x, y, z) les coordonnées du point M, (x', y’, z') celles 
du point M’, on voit bien aisément que 
LE 0 (5) 
YEN 9; (4) 
xx" + yy + 22 + = 0, (5) 
a étant le rayon du cercle T. 
Pour plus de simplicité dans le langage, nous admettrons dans 
ce qui suit que le plan 20y soit pris pour plan horizontal, 
Oz étant par suite vertical. 
Les équations (3) et (4) expriment que les projections horizon- 
tales de deux courbes transformées l’une de l’autre sont symé- 
triques par rapport au point O. 
Par suile, si une courbe est tracée sur un cylindre vertical 
dont la base ait le point O pour centre, la transformée de celte 
courbe se trouve aussi sur ce cylindre. 
‘7. Supposons que le point M décrive une courbe quel- 
conque px; le point M' décrit la courbe transformée y’. Cher- 
chons comment sont liées les tangentes correspondantes des 
courbes x et u’. 
La différentiation des équations (3), (4) et (5) donne 
dx + dx'=— 0, (6) 
dy + dy — 0, (7) 
adx" + x'dx + ydy + y'dy + zdz' + z'dz — 0, (8) 
