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‘7. La transformation traitée dans le paragraphe précédent se 
ramène facilement à une inversion quadrique de Hirst. 
En effet, soit M, l’orthocentre du triangle ABM; les points 
M' et M, sont symétriques par rapport au milieu de AB. Dési- 
gnons par AA', BB', Mm les hauteurs du triangle ABM; les 
points A’, B' se meuvent sur la circonférence F qui a pour 
diamètre AB. La droite MM, passe donc par un point fixe C, 
situé à l'infini sur la direction perpendiculaire à AB, et les 
points M, M, sont conjugués par rapport à F. 
La seconde méthode exposée au $ 5 conduit à une élégante 
construction de la tangente, due à M. de Longchamps (Wiskun- 
dige Opgaven, deel IE, p.303). Le faisceau (d) des droites menées 
par M, et le faisceau (d,) des tangentes menées par M, à leurs 
transformées sont perspectifs; car ils ont un rayon uni MM, ; 
il résulte de là que les tangentes menées par M et M, à deux 
courbes homologues qui passent en ces points, se coupent sur la 
droite A'B', qui joint les pieds des hauteurs AA', BB’. 
Plus généralement, soient M, M, deux points conjugués par 
rapport à une conique fixe F, et situés -en ligne droite avec un 
point fixe C. Ces points se correspondent dans une transforma- 
tion de Hirst, ayant pour pôle principal C, pour conique double F. 
Soient A, B les points de contact des tangentes menées de C 
à [. Le faisceau des droites menées par M est projectif avec 
celui des tangentes menées par M, à leurs transformées; soient 
d, d deux rayons homologues quelconques de ces faisceaux. La 
droite MM, est un rayon uni; donc les droites d, d, se coupent 
sur une droite fixe {; on détermine celle-ci au moyen des deux 
couples de rayons homologues AM et BM,, AM, et BM. 
Voici une autre démonstration de ce résultat. Soient, sur deux 
courbes homologues, M et N, M, et N, des couples de points 
homologues ; désignons par V le point de rencontre des droites 
MN, MAN, et par W celui des droites MN,, M,N. D’après un 
théorème connu, les points V, W sont également conjugués 
harmoniques par rapport à F. Lorsque N et N, tendent à se 
confondre avec M et M,, la limite du point W est le point w, 
conjugué harmonique de C par rapport à MM,, car le faisceau 
