29 J. LEDENT. — Surfaces du second degré. 
Par l’élimination des neuf angles que les nouveaux axes 
font avec les anciens, le nombre de ces relations se trouvera 
réduit à celui des termes de l'équation proposée, moins trois. 
Ainsi pour l'équation du second degré, qui renferme dix 
termes, il existe sept relations, entre les anciens et les 
nouveaux paramètres, indépendantes de la direction du 
second système d'axes relativement au premier. 
Nous réunirons d’abord l'ensemble des notations et des for- 
mules dont il sera fait usage pour obtenir ces sept relations. 
2. Les axes OX, OV, OZ étant supposés rectangulaires, 
nous désignons par 4, b,c, les cosinus des angles que fait la 
direction OX’ avec ces axes; de même, a!, b', c' et a", b", c"! 
désignent les cosinus des angles que font OVY'et OZ! avec 
les mêmes axes ; ces cosinus donneront lieu aux équations 
suivantes : 
a + +c =1, 
(1) (AE po ENS A 
ai DER Se +; 
et, en désignant par À, &, », les cosinus des angles Y'OZ', 
ZOX, XOY': 
aa + bb! + c'e! = à, 
(2) ala+0"b +c'c=m, 
au + bb! + cc! = y. 
D'un autre côté, si l’on considère les angles que chacun 
des anciens axes fait avee les nouveaux, on aura de même, 
en désignant par /, m,n les sinus des angles V'OZ/, Z'OX' 
X'OY', et posant, pour abréger, 1 — À —n2— +9 uy=o, 
les trois équations suivantes : 
al +a'"m:+alnt 
+ 2ala"(uy À) +2ara (vi —u) + 2aa(u—v) = ©, 
à bel + Dm + blEn° 
1) À + 200 (uv —2) + 20 b (7) — 0) +2bb'Qu—v) = ©, 
| cl + cm?+ clin, 
er 2c'cll (puy —2) + 2cle(v}—p)+2cc'(Au—v) = w. 
