32 J. LEDENT. — Surfaces du second degré. 
Ces fonctions ne subsistent pas pour une équation d'un 
degré supérieur au second, parce que la substitution de 
z'+a,y+betz+càx,yex dans chaque terme d'un 
degré supérieur amène des termes d’un degré moindre. 
12. En réunissant les conclusions des deux numéros précé- 
dents, nous arrivons à ce résultat : il y a quatre fonctions qui 
restent invariables quelles que soient l'origine et les direc- 
tions des axes, savoir : 
UN 
0) G) 
i 
E 
“er 
G) 
£ 1 
On démontrerait facilement qu'il ne peut y en avoir 
davantage. 
Fonctions invariables relatives à plusieurs surfaces. 
43. Considérons d’abord deux surfaces du second degré 
dont les équations soient 
S=0 et S:=0, 
dont les paramètres sont a, a, etc., pour la première, 
a,, &,, etc., pour la seconde. L'équation S + &S, —0, égale- 
ment du second degré, aura par suite les mêmes fonctions 
invariables que celles de l'équation $ — 0, dans laquelle on 
remplacera les coefficients &, a', etc., par &« + ka, a’ 
“R ICTC: 
Si, par une lransformation de coordonnées $ et S, de- 
viennent S'et 5", S + ÆS, deviendra S'+ ÆS',, et le coefficient 
k ne sera pas altéré, c’est-à-dire, les valeurs de k pour les- 
quelles l'équation S + £S, = 0 représente une surface déter- 
minée restent les mêmes, quel que soit le système d’axes 
auquel se rapportent les équations S =0et$ = 0. 
Soit à déterminer % de manière que la fonction E relative à 
la surface $ + ÆS, soit égale à zéro; puisque È est invariable 
quels que soient les axes, on aura aussi E — 0 pour tout sys- 
tème de coordonnées ; mais l'équation E = 0, pour la surface 
