38 J. LEpENT. — Surfaces du second degré. 
dans lesquelles il suffira de faire toutes les combinaisons 
avec les quatre lettres n, n,,n,, n,, en les prenant une à une 
pour les fonctions du premier degré, deux à deux pour 
celles du second, etc. 
On aura ainsi pour une origine fixe : 4 fonctions du premier 
degré, 20 du second, 40 du troisième et 35 du quatrième, 
enfin les quatre termes indépendants des variables, en tout 
403 fonctions invariables ; or si l'on change les axes des 
coordonnées, on n’a que 40 relations entre les anciens et les 
nouveaux paramètres de quatre équations du second degré, 
plus les six équations qui lient les divers angles que les 
anciens et les nouveaux axes font entre eux ; de sorte qu'après 
l'élimination des neuf angles qui fixent la position des nou- 
veaux axes par rapport aux anciens, il ne resiera que 37 rela- 
tions indépendantes de la direction des axes, tandis que 
nous venons de trouver 403 fonctions invariables ; il y a donc 
66 de ces dernières qui sont la conséquence des 37 autres. 
Ainsi que nous l’avons déjà remarqué, n° 10, ces formules 
appartiennent aussi aux équations d'un degré supérieur 
au second. 
Si l'on considérait un nombre de surfaces supérieur à 
quatre, on n’obtiendrait pas de nouvelle forme de fonctions 
invariables, attendu que celles qui sont du degré le plus 
élevé, n'étant que du quatrième, ne peuvent renfermer que 
des paramètres de quatre équations différentes tout au plus. 
18, Si l’on change en même temps l’origine et la direction 
des axes, le nombre de ces fonctions invariables se réduira 
à 69, représentées par les quatre types suivants : 
E dF 1 dG 
re A LE RUES PO) 
CH Erense CR 
oc) dx de.dB 
= , 
Or, il n'y a plus seulement à éliminer neuf quantités entre 
les équations qui relient les anciens et les nouveaux para- 
mètres , il faut en outre éliminer les trois coordonnées de la 
