3. LEDENT. — Surfaces du second degré 41 
quelles que soient les valeurs attribuées à m et n, ce qui 
aura lieu à la condition que le polynome 
Am + An? + A! + 9 Bn + 2 B'm + 2 B'mn 
ne puisse changer de signe pour toutes valeurs réelles de 
m et x; pour cela il faut que l'on ait, quel que soit » : 
(B'® — AA!) . n° + 2(B/B' — AB). n +B°— AA < 0: 
pour satisfaire à cette condition, on doit avoir à la fois : 
B'® — AA! 0 et (B!B!— AB} — (B'#— AA!) (B®— AA) ou AG < 0. 
ces conditions entraînent évidemment celles-ei : 
B° — AA 0 et B° — A'A! O0, 
L'ellipsoide sera réel si l'intersection du diamètre avec la 
surface est réelle, c’est-à-dire si l'équation : 
(Am + An + AL 928n + 2B'm + 92B'mn).2 + D! — ( 
donne pour x des valeurs réelles; le coefficient de 4° ayaut 
toujours Île signe de À, il faudra que D' soit de signe con- 
traire à À, ou : de même signe que À , à cause de D = — :. 
or, la condition AG G indique que G est de signe contraire 
à À, donc il faut que L soit négatif pour que l'ellipsoïde soit 
réel ;si L est positif, l'ellipsoïde est imaginaire ; si L'est nul, 
il se réduit à un point. 
21. Supposons maintenant que la surface soit un hyperbo- 
loïde. Imaginons la surface rapportée à ses trois axes princi- 
paux et l'équation réduite à la forme : 
Ma + My + M'2° + D'= 0. 
Les relations (A) nous donnent : — MM'M' — 2e dans le cas 
5) 
d'un hyperboloïde, il y a un axe d'espèce unique, c'est-à-dire 
