J. LEDENT. — Surjaces du second degré. 49 
cines communes aux équations (1) et (2), on pourra mener 
par l'intersection des deux surfaces autant de cylindres 
réels ou imaginaires; on ne pourrait en tous cas en mener 
plus de trois. De plus, pour qu'un de ces cylindres soit un 
cylindre proprement dit, il faut encore que la valeur corres- 
pondante de & n’annule pas la fonction I + DF relative à la 
surface S + kS, et même que cette valeur de Æ donne à cette 
fonction le même signe qu'à A+ÆA, si la fonction F est 
rendue négative par cette valeur de #. 
Pour que l'équation $S + £S: — 0 représente deux plans, la 
valeur de k doit satisfaire d’abord aux équations (1) et (2) 
et faire évanouir la fonction [+ DF quand on y remplace a 
par a+ ka, etc, c'est-à-dire, en désignant I+DF par Q, 
satisfaire l'équation suivante : 
Q+k.qg +k°.q: + k.Q, = 0. (3) 
S'il y a une racine commune aux équations (1), (2) et (3), 
ce sera une valeur de & à laquelle correspondra un couple de 
plans réels ou imaginaires passant par l'intersection commune. 
Pour que ces plans soient réels il faut en outre que le poly- 
nome F +k4.f+F soit rendu positif, auquel cas les deux plans 
se coupent, ou encore, que ce polynome soit nul et que la 
fonction H —DE soit rendue positive ou nulle, auquel cas les 
deux plans sont parallèles ou coïncident. 
Si les équations S et S, représentent deux cylindres, on 
aura : 
G=0, L=0, G=0, L,=0; 
et les équations (1) et (2) auront pour racines communes 
0 et ©, qui correspondent respectivement aux cylindres 
donnés; ces équations se réduisent d’ailleurs à : 
(4) LR AU El, =:0 7 et (0) g + kg: = 0. 
D'où résultent les conditions suivantes pour que les deux 
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