F. Foie. —- Divisibilite des nombres. 89 
$ IL. 1° Soit un nombre écrit dans un système de numéra- 
tion à base B : 
N = AB +C. 
Cherchons à déterminer les caractères de divisibilité de ce 
nombre par un nombre premier donné 
p= ab + c. 
Si p n'avait que des unités simples, nous formerions un de 
ses multiples, et nous représenterions ce multiple np 
par aB+c,n étant supposé premier avec p. 
Le principe que nous nous proposons d'établir est le 
suivant : 
Théorème.— Sientreaetcil existe une relation ak' + ck= mp (°). 
le nombre AB + C sera divisible par p à la condition que 
AK Æ Ck = mp, 
pourvu quea,c, k,k', ne soient pas des multiples de p. 
Pour le démontrer, nous nous appuierons sur ce lemme : 
Lemme. — 1° Si deux nombres a.B +- c et A.B + C sont divisibles 
par un même nombre premier p, on aura Ac — aG == m p. 
En effet, de 
aB + c= mp 
AB+C= mp, 
on déduit : 
AaB + Ac = mp 
aAB + aC = mp ; 
d'où 
Ac — aC = mp. 
2° Réciproquement si aB + © = mp et que Ac — aG = mp, 
AB+C le sera aussi, pourvu que à et c ne le soient pas. 
(*} Par mp nous entendons un multiple de p quelconque , ou zéro. 
