94 F. Foie. — Divisibilité des nombres. 
mier avee p, le nombre AB° + CB + D sera multiple de p. 
Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer cette 
réciproque. 
Théorème. — Soit un nombre premier p ou l’un de ses multiples 
représenté par aB?+cB + d = m.p; et soit donnée la relation 
ak" + ck'+ dk = mp, Kk, K', k"' éfant premiers avec p; si 
AE + CR! + DK = m.p, 
le nombre AB° + CB <+ D sera divisible par p, pourvu que k° — Kkk' 
soit un multiple de p. 
En effet, on déduit des hypothèses posées : 
(Ac — aC) k! + (Ad — aD)k = mp. 
(Ad — aD)kl! + (Cd — cD) = m.p. 
et de là, comme plus haut, 
(Ad — aD}kk"" — (Ac — aC)(Cd — cD)k° = m.p. 
Mais puisque l'on a aussi 
ke kk! = mp, 
il s'ensuit : 
(Ad — aD) — (Ac--aC)(Cd— cD) = m.p ; 
d'où la preuve du principe, en vertu du lemme précédent. 
Les caractères que l’on obtiendra au moyen de ce principe 
sont les mêmes que ceux quise déduisent des restes de la 
division de 100, 10, 4 par le nombre premier donné; ou de 
200, 20,2; 300, 30,3, etc. En outre, on voit par notre 
principe que ces restes salisfont toujours à la condition que 
le carré du moyen diminué du produit des extrêmes est un 
multiple du nombre premier, ce qui est très-aisé à démon- 
trer directement, et peut fournir un moyen très-simple de 
vérification de ces restes. 
Montrons, par un seul exemple, comment le caractère 
peut s'établir sans tàtonnement, etsans chercher les restes : 
Soit un nombre cdu, dansle système décimal; son caractère 
de divisibilité par 7 est, comme nous l'avons vu : 
cé — Qù = MT ; 
