156 3. B. Brasseur. — Exposition nouvelle du calcul différentiel. 
Cette origine étant supposée connue, on pourra construire 
tous les points de la courbe, et de là on conclut que dx peut 
l'origine primitive , nous pourrons écrire : 
de =X—x, dy=Y—"#, 
l'équation (3) deviendra ainsi : 
Y— 7 = gl. (X— x), 
et sera l'équation de la tangente à la courbe au point æ,y; mais comme cette équa- 
tion n'est autre que l'équation (3) , celle-ci ne représente pas autre chose que la 
tangente à la courbe en un point quelconque #, y. 
Or, pour revenir géométriquement de la tangente à la courbe elle-même, il faut 
considérer celle-ci comme l'enveloppe de ses tangentes. Cherchons donc cette 
enveloppe. On la trouvera, voir chapitre IV, art. 11, en éliminant x entre 
l'équation de la tangente et sa dérivée prise par rapport à #. 
L'équation de la tangente étant 
sa dérivée par rapport à æ sera : 
—9lxæ = — gle + (X— æ\qll (x) 
ou 
0 (X— x) gl (6). 
Mais !! (æ) ne peut pas être nul, sans quoi & (x) serait une fonction linéaire, et 
y = 9 (x) représenterait une droite , ce qui est contre l'hypothèse ; il en résulte que 
X—x—0. 
Et si nous éliminons x entre cette équation et celle de la tangente, nous obtien- 
drons 
pour l’équation de l'enveloppe. 
Cette dernière équation est l'intégrale de l'équation (3); cette intégrale repré- 
sente donc la courbe. 
On voit combien cette démonstration est laborieuse, et combien l'interprétation 
de Brasseur l'emporte en simplicité. Les applications suivantes présenteront le 
même caractère; nous appellerons surtout l'attention du lecteur sur la théorie 
des enveloppes, et nous le prierons de la comparer, sous le rapport de la 
rigueur, à celle que donnent les autres méthodes. 
