Fig. 1. 
12 MEMOIRES DE L'ACADEMIE RoYALE 
dont il s’agit, à 2adx —ydy — 2 , & cette derniére 
nous indique une courbe méchanique, dépendante de Ja qua- 
drature del’hyperbole. Aïnfi ce que nous avons dit ci-devant, 
que les lignes de pourfuite font géométriques aufli-tôt que 
a & mm font commenfurables, a befoin de quelque reftriction ; 
& l'exception eft en même temps finguliére, que parmi une 
infinité de courbes géométriques il s'en trouve une mécha- 
nique, précifément lorfque » & m= font égales. Au furplus, 
comme il eft extrêmement facile de conftruire l'équation 
dy 
CA 
bole, où par le moyen de la logarithmique, nous ne croyons 
pas devoir nous y arrêter. 
2adx = ydy— par le moyen des aires de l'hyper- 
Mais nous terminerons ce Memoire en faïfant remarquer 
dans les lignes de pourfuite une ou deux propriétés qui fe 
préfentent comme d'elles-mêmes, fans qu'il foit néceffaire de 
les aller puifer dans l'équation qui exprime Ia nature de 
ces courbes. Si lon confidere deux tangentes infiniment 
proche l'une de fautre, comme FG & fg, on voit qu'à 
mefure qu'elles font plus éloignées du point À, elles font 
plus longues par l'extrémité d'en haut de la petite portion Æf 
de fa courbe comprife entre les points d’attouchement, mais 
qu'elles font en même temps plus courtes par l’extremité d'en 
bas de Ja petite partie GO retranchée par la petite ligne sO 
abbaiflée perpendiculairement du point g fur #G. Mais les 
petits triangles GOg & FNf étant femblables, parce qu'ils font 
tous les deux rectangles, & que l'angle G de l'un eft égal à 
l'angle F de f'autre, nous avons cette proportion, le petit 
arc FF eft à la petite partie Gr, ou ce qui revient au même, 
a ft à m, comme FN— Ji eft à GO; ce qui nous montre 
que — x FN où © Zi eft égale à GO. Nous avons donc 
Ff— = Ji pour l'élement des tangentes GF ou pour 
leurs petits accroiffemens : & il eft clair que pour avoir les 
longueurs de ces tangentes, lorfqu'il y a un point de ren- 
